Questões de Matemática – 241

Resolução:

Dado $\frac{x}{x^2 + 3x + 1} = a$ com $(a \neq 0)$, precisamos encontrar o valor da expressão $\frac{x^2}{x^4 + 3x^2 + 1}$.

Para começar, vamos inverter ambos os lados da equação fornecida:

Isso resulta em:

Agora, separamos os termos do numerador, dividindo cada um por $x$:

Simplificando as frações, obtemos:

Isolando a soma $(x + \frac{1}{x})$ no lado esquerdo da equação:

Para nos aproximarmos dos termos ao quadrado da expressão que queremos encontrar, elevamos ambos os lados ao quadrado:

Expandindo os produtos notáveis em ambos os lados:

Isolando $x^2 + \frac{1}{x^2}$, subtraímos $2$ do lado direito:

Observando a expressão final que queremos encontrar, notaremos que precisaremos do termo $+3$. Então, adicionamos $3$ a ambos os lados da equação:

Encontrando o mínimo múltiplo comum ($a^2$) para juntar os termos do lado direito em uma única fração:

Agora, vamos trabalhar a expressão original que a questão pede. Para simplificá-la, dividimos tanto o numerador quanto o denominador por $x^2$:

Separando os termos do denominador:

Note que o denominador da nossa expressão (II) é exatamente o valor que encontramos na equação (I). Então, substituímos o valor de (I) em (II), tornando o resultado em função de $a$ :

Para resolver a divisão de frações, mantemos o numerador $1$ e multiplicamos pelo inverso da fração do denominador:

Chegamos assim ao nosso resultado final, organizando a equação do denominador:

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