Questões de Matemática – 241

Resolução:

Dado $\frac{x}{x^2 + 3x + 1} = a$ com $(a \neq 0)$ , precisamos encontrar o valor da expressão $\frac{x^2}{x^4 + 3x^2 + 1}$ .

Para começar, vamos inverter ambos os lados da equação fornecida:

$\left( \frac{x}{x^2 + 3x + 1} \right)^{-1} = (a)^{-1}$

Isso resulta em:

$\frac{x^2 + 3x + 1}{x} = \frac{1}{a}$

Agora, separamos os termos do numerador, dividindo cada um por $x$ :

$\frac{x^2}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{a}$

Simplificando as frações, obtemos:

$x + 3 + \frac{1}{x} = \frac{1}{a}$

Isolando a soma $(x + \frac{1}{x})$ no lado esquerdo da equação:

$x + \frac{1}{x} = \frac{1}{a} - 3$

Para nos aproximarmos dos termos ao quadrado da expressão que queremos encontrar, elevamos ambos os lados ao quadrado:

$\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = \left( \frac{1}{a} - 3 \right)^2$

Expandindo os produtos notáveis em ambos os lados:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} =$

$\frac{1}{a^2} - 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot 3 + 9$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{6}{a} + 9$

Isolando $x^2 + \frac{1}{x^2}$ , subtraímos $2$ do lado direito:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{6}{a} + 9 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{6}{a} + 7$

Observando a expressão final que queremos encontrar, notaremos que precisaremos do termo $+3$ . Então, adicionamos $3$ a ambos os lados da equação:

$x^2 + \frac{1}{x^2} \boxed{+ 3} = \frac{1}{a^2} - \frac{6}{a} + 7 \boxed{+ 3}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} + 3 = \frac{1}{a^2} - \frac{6}{a} + 10$

Encontrando o mínimo múltiplo comum ( $a^2$ ) para juntar os termos do lado direito em uma única fração:

(I) $x^2 + \frac{1}{x^2} + 3 = \boxed{\frac{1 - 6a + 10a^2}{a^2}}$

Agora, vamos trabalhar a expressão original que a questão pede. Para simplificá-la, dividimos tanto o numerador quanto o denominador por $x^2$ :

$\frac{x^2}{x^4 + 3x^2 + 1} = \frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2}} =$

Separando os termos do denominador:

(II) $= \frac{1}{\frac{x^4}{x^2} + \frac{3x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{\boxed{x^2 + 3 + \frac{1}{x^2}}}$

Note que o denominador da nossa expressão (II) é exatamente o valor que encontramos na equação (I). Então, substituímos o valor de (I) em (II), tornando o resultado em função de $a$ :

$\frac{x^2}{x^4 + 3x^2 + 1} = \frac{1}{\frac{1 - 6a + 10a^2}{a^2}}$

Para resolver a divisão de frações, mantemos o numerador $1$ e multiplicamos pelo inverso da fração do denominador:

$\frac{x^2}{x^4 + 3x^2 + 1} = 1 \cdot \frac{a^2}{1 - 6a + 10a^2}$

Chegamos assim ao nosso resultado final, organizando a equação do denominador:

$\frac{x^2}{x^4 + 3x^2 + 1} = \frac{a^2}{10a^2 - 6a + 1}$

Resposta: $\frac{a^2}{10a^2 - 6a + 1}$

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Questões de Matemática – 241

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