Questões de Matemática – 240

Resolução:

Seja $x$ um número tal que $x^2 - 3x + 1 = 0$ .

Qual é o valor de $x^2 + \frac{1}{x^2}$ ?

A partir da equação original, temos:

$x^2 - 3x + 1 = 0$

Passamos o termo $-3x$ para o lado direito da equação:

$x^2 + 1 = 3x$

Dividimos todos os termos da equação por $x$ :

$x + \frac{1}{x} = 3$

Elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:

$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = (3)^2$

Desenvolvemos o lado esquerdo utilizando o Produto Notável do quadrado da soma:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$

Arrumando a equação, chegamos a:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

Passamos o $2$ para o outro lado da igualdade, invertendo o sinal:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2$

Chegamos ao resultado final:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

CHAMA 🔥