Como Resolver Expressão com Raiz Dupla Elevando ao Quadrado

Publicado Atualizado

Questões de Matemática – 247

questoes-de-matematica-247

Resolução

A questão nos fornece o valor de xx e pede para encontrarmos o valor da fração x25\frac{x^2}{5}.

O primeiro passo para resolver a expressão x=3+5+3−5x = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 – \sqrt{5}} e eliminar as raízes externas maiores é elevar a equação ao quadrado em ambos os lados:

x2=(3+5+3−5)2x^2 = \left(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 – \sqrt{5}}\right)^2

No lado direito, aplicamos o produto notável do quadrado da soma de dois termos (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :

x2=(3+5)2+2⋅(3+5)⋅(3−5)+(3−5)2\begin{aligned}&x^2 = \left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2 \\&\quad + 2 \cdot \left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right) \cdot \left(\sqrt{3 – \sqrt{5}}\right) \\&\quad + \left(\sqrt{3 – \sqrt{5}}\right)^2\end{aligned}

Simplificamos os quadrados com as raízes externas das extremidades. No termo central, agrupamos as duas raízes em uma só, aplicando o produto da soma pela diferença (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 – b^2 :

x2=3+5+2⋅(3)2−(5)2+3−5\begin{aligned}&x^2 = 3 + \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{(3)^2 – (\sqrt{5})^2} \\&\quad + 3 – \sqrt{5}\end{aligned}

Na equação, os termos +5+\sqrt{5} e −5-\sqrt{5} se anulam. Somamos os números 3+3=63+3=6 e resolvemos as potências dentro da raiz:

x2=6+2⋅9−5x^2 = 6 + 2 \cdot \sqrt{9 – 5}

Resolvemos a subtração no interior da raiz:

x2=6+2⋅4x^2 = 6 + 2 \cdot \sqrt{4}

Calculamos a raiz quadrada de 44 e multiplicamos pelo fator 22 externo:

x2=6+2⋅2⟹x2=10x^2 = 6 + 2 \cdot 2 \implies x^2 = 10

Logo, temos o valor de x2=10x^2 = 10. Agora substituímos esse valor na fração original pedida pelo problema:

x25=105\frac{x^2}{5} = \frac{10}{5}

Ao realizar a divisão, encontramos o resultado final:

x25=2\frac{x^2}{5} = 2

Resposta A

CHAMA 🔥

Deixe um comentário