Questões de Matemática – 247

Resolução

A questão nos fornece o valor de $x$ e pede para encontrarmos o valor da fração $\frac{x^2}{5}$ .

O primeiro passo para resolver a expressão $x = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ e eliminar as raízes externas maiores é elevar a equação ao quadrado em ambos os lados:

$x^2 = \left(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}\right)^2$

No lado direito, aplicamos o produto notável do quadrado da soma de dois termos $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

$\begin{aligned}&x^2 = \left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2 \\&\quad + 2 \cdot \left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right) \cdot \left(\sqrt{3 - \sqrt{5}}\right) \\&\quad + \left(\sqrt{3 - \sqrt{5}}\right)^2\end{aligned}$

Simplificamos os quadrados com as raízes externas das extremidades. No termo central, agrupamos as duas raízes em uma só, aplicando o produto da soma pela diferença $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :